Лекции | Дифференциалы высших порядков

Top 7ef411496f84437069acf0e42ee77352886572d19ba8877ee27abae1e871175c

1. Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы:

d(u±v) = du ±dv

d(uv) = udv+vdu

(при условии, что V(x) ¹ 0)

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.

Пример. y = x³sin2x. Найти dy.

dy = (3x²sin2x+2x³cos2x)dx

2. Инвариантность формы дифференциала

Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная. Пусть теперь y = f(x) и х = g(t), то есть у является сложной функцией t: у = f(g(t)). Тогда dy = y'_tdt. По правилу дифференцирования сложной функции имеем y'_t= y'_xx'_t. Отсюда dy = y'_xx'_tdt = y'_xdx = f'(x)dx, так как x'_tdt = dx. Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где х = g(t), имеет такой же вид dy = f'(x) dx, как и дифференциал функции y = f(x), где х – независимая переменная.

Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y = f(x). Дифференциал этой функции dy = f'(x)dx зависит от х и dx = Dх. Приращение dx от х не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от этой точки. Рассматривая dy = f'(x)dx только как функцию от х (то есть считая dx постоянным), можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d²у или d² f(x). Таким образом, по определению d²у = d(dу). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).

Итак,

Аналогично определяются и вычисляются дифференциалы третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, дифференциалом n – го порядка или n-м дифференциалом функции y = f(x) называется дифференциал от ее (n-1) – го дифференциала: dⁿy = d(d^n-1y). Легко установить, что dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка. Из последней формулы следует .

Замечание. Для сложной функции форма дифференциала dⁿy при n>1 не обладает свойством инвариантности, а значит и . Однако часто и для сложной функции f⁽ⁿ⁾(x) обозначают , понимая не как отношение дифференциалов, а как символ, обозначающий f⁽ⁿ⁾(x).

Оцените материал: