|
1.
Пусть u = u(x) и v
= v(x) – дифференцируемые в точке х
функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы:
d(u±v) =
du ±dv
d(uv) = udv+vdu
 (при условии, что V(x) ¹
0)
Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств
производной.
Пример. y =
x3sin2x. Найти dy.
dy = (3x2sin2x+2x3cos2x)dx
2. Инвариантность формы
дифференциала
Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x),
где х – независимая переменная. Пусть теперь y = f(x)
и х = g(t), то есть у является
сложной функцией t: у = f(g(t)). Тогда dy = y'tdt. По
правилу дифференцирования сложной функции имеем y't = y'xx't.
Отсюда dy = y'xx'tdt = y'xdx = f'(x)dx,
так как x'tdt = dx. Таким образом, дифференциал сложной
функции y = f(x), где х = g(t), имеет такой же вид dy =
f'(x) dx, как и дифференциал функции y
= f(x), где х – независимая
переменная.
Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью
формы дифференциала.
|
Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y =
f(x). Дифференциал этой функции dy
= f'(x)dx зависит от х и dx =
Dх. Приращение dx от х
не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от
этой точки. Рассматривая dy = f'(x)dx только как функцию от х (то есть
считая dx постоянным), можно найти
дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y =
f(x) называется ее вторым
дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d(dу).
Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).
 Итак, 
Аналогично определяются и вычисляются дифференциалы третьего,
четвертого и так далее порядков. Вообще, дифференциалом n – го порядка или n-м
дифференциалом функции y = f(x)
называется дифференциал от ее (n-1) – го дифференциала: dny = d(dn-1y).
Легко установить, что dny = f(n)(x)dxn. Дифференциал dy называют дифференциалом первого
порядка. Из последней формулы следует  .
Замечание. Для сложной функции форма дифференциала dny при n>1 не обладает
свойством инвариантности, а значит и  . Однако часто и для сложной функции f(n)(x)
обозначают  , понимая  не как отношение
дифференциалов, а как символ, обозначающий f(n)(x).
|
Оцените материал:
