Лекции | Общее уравнение кривой второго порядка

Top 7ef411496f84437069acf0e42ee77352886572d19ba8877ee27abae1e871175c

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить, выделив полные квадраты переменных.

Пример 16. Построить кривую

Решение. Тогда уравнение можно записать в виде или или – уравнение гиперболы с полуосями а = 4, центр которой находится в точке О₁(-1; 3) (рис. 38).

Рис. 38

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба (рис. 39).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим r = ОМ – расстояние точки М от полюса, – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа r и j называются полярными координатами точки М, r – полярный радиус, j – полярный угол точки М. По определению r ³ 0. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение j пределами 0 £ j < 2p (или -p < j £ p), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (r, j). Исключение составляет полюс, для которого r = 0, а угол j не определен.

Рис. 39

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40). Тогда полярные координаты (r, j) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

	(2.25)
	(2.26)

Из этих формул следует:

(2.27)

Рис. 40

Формула для tgj определяет два угла j и j + p в промежутке [0; 2p). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (2.27).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения из формул (2.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.26), (2.27).

Пример 17. Построить в полярной системе координат точки

Решение. Построение точек показано на рис. 41

Рис. 41

Пример 18. Какие линии определяются уравнениями r = а(const) и j = a(const)?

Решение. Геометрическое место точек, для которых r – расстояние от полюса – постоянно, есть окружность, поэтому уравнение r = а определяет окружность радиуса а с центром в полюсе 0. Уравнение j = a определяет луч, выходящий из полюса под углом a к полярной оси.

Пример 19. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy так, как показано на рис.40

Решение. Выражение в правой части имеет смысл при sin2j ³ 0, то есть и Учитывая периодичность функции (период Т = p), достаточно рассмотреть Составим таблицу значений функции, ограничиваясь точностью 0,01:

j	0
	0	2,12	2,79	3	2,79	2,12	0

Проведем лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом из них отложим вычисленное значение r. Полученные точки соединим плавной кривой (рис. 42). Построенная линия называется лемнискатой Бернулли. Чтобы перейти к декартовым координатам, запишем уравнение в виде и воспользуемся формулами (2.26) и (2.27): – уравнение линии в декартовой системе координат.