Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в
частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных,
пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.
В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить,
выделив полные квадраты переменных.
Пример 16. Построить
кривую 
Решение. Тогда уравнение можно
записать в виде или или – уравнение гиперболы с полуосями а = 4, центр которой
находится в точке О1(-1; 3) (рис. 38).

Рис. 38
|
Полярная система координат на плоскости определяется
заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой
точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба (рис. 39).
Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим r = ОМ
– расстояние точки М от полюса, – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой
стрелки до направления ОМ. Числа r и j называются полярными
координатами точки М, r – полярный радиус, j – полярный угол
точки М. По определению r ³ 0. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет
точку М на плоскости. Если ограничить изменение j пределами 0 £
j
<
2p
(или -p
<
j
£
p),
то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (r, j).
Исключение составляет полюс, для которого r = 0, а угол j не
определен.

Рис. 39
Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0
совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40).
Тогда полярные координаты (r, j) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

|
(2.25)
|

|
(2.26)
|
Из этих формул следует:

|
(2.27)
|

Рис. 40
Формула для tgj
определяет два угла j
и j
+ p
в промежутке [0; 2p).
Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой
находится точка М, или воспользоваться формулами (2.27).
Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к
ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения
из формул (2.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в
декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.26), (2.27).
Пример 17.
Построить в полярной системе координат точки 
Решение. Построение точек показано на рис. 41

Рис. 41
Пример 18. Какие
линии определяются уравнениями r = а(const)
и j
= a(const)?
Решение. Геометрическое место точек, для которых r –
расстояние от полюса – постоянно, есть окружность, поэтому уравнение r = а
определяет окружность радиуса а с центром в полюсе 0. Уравнение j = a определяет
луч, выходящий из полюса под углом a к полярной оси.
Пример 19. Дано
полярное уравнение линии Построить эту линию по
точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy так, как показано
на рис.40
Решение. Выражение в правой части имеет смысл при sin2j ³ 0, то есть и Учитывая периодичность
функции (период Т = p),
достаточно рассмотреть Составим таблицу
значений функции, ограничиваясь точностью 0,01:
j
|
0
|

|

|

|

|

|

|

|
0
|
2,12
|
2,79
|
3
|
2,79
|
2,12
|
0
|
Проведем лучи, соответствующие выбранным значениям j, и
на каждом из них отложим вычисленное значение r. Полученные точки
соединим плавной кривой (рис. 42). Построенная линия называется лемнискатой
Бернулли. Чтобы перейти к декартовым координатам, запишем уравнение в виде и воспользуемся формулами
(2.26) и (2.27): – уравнение линии в декартовой системе координат.

Рис. 42
Пример 20. Найти
полярное уравнение окружности 
Решение. Запишем уравнение в виде или Воспользуемся
формулами (2.25):  – искомое уравнение.
|
Оцените материал: