|
Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных
физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами
латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Элементы этих множеств будем обозначать
малыми буквами, а тот факт, что какой-то элемент принадлежит некоторому
множеству, будем обозначать символом Î (принадлежит): х Î Х,у
Î
Y. Кроме того, мы будем использовать символы " (любой) и $ (существует).
Если каждому элементу
хÎХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) Î
У, где Х и Y -данные числовые множества, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.
Этот факт записывают
так: у=f(х). Х называют
множеством определения функции, а множество Y – множеством ее значений.
Можно сказать, что
функция f
осуществляет отображение множества Х
в Y.
Eсли любой элемент у Î Y является значением функции f, тo говорят, что функция f
отображает множество Х на множество 
Пример 1.
Функция f(х)
= sin х отображает интервал Х =
(0,2p)
на отрезок [-1,1].
Действительно,
изобразим у = sin х в
интервале (0,2p).
Очевидно, что каждое число из отрезка [-1,1]
оси ОY является значением функции у = sin х.
Пусть между элементами
множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает
взаимно однозначное соответствие, то есть "xÎX соответствует один и
только один его образ y =f(x) Î Y и обратно, для " y Î Y найдется единственный прообраз x Î X такой, что f(x) = y. Тогда функция x =f--1(y), где y Î Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).
Иначе: обратная
функция f -1 является
отображением множества Y на множество X.
Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b,
окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.
Под окрестностью О(¥) символа
бесконечность понимается внешность любого отрезка [a,b], то есть О (¥) = (-¥,a)
È
(b,+ ¥).
б-окрестностью
точки а называется интервал (а–б,
а+б),
не содержащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а) È (а, а + б).
Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.
Точку а мы будем называть
предельной точкой множества X, если в любой б
-окрестности точки а содержится
бесконечно много точек xÎX, то есть О (а) ÇX ¹
Æ
для "
О(а).
Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при x®а), если для любого e > 0 cуществует
число б (e)
>
0 такое, что для любого x Î X, удовлетворяющего условию 0 < ïx – аï < б,следует неравенство ïf (x) – Aï< e.
Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0 < ïx- аï<
б, находятся в б-окрестности точки а,
можно несколько иначе сформулировать определение предела.
Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x®а, если для "e > 0
существует б-окрестность точки а О (а,б) = íx/ 0< ïx-aï<бý,где
б =б (e),
такая, что для " x Î O (а, б) выполняется неравенство ïf(x) – Aï < e.
При этом пишут: 
Утверждение  эквивалентно
следующему:
ïf(x) – Aï < e при ïx ï >
∆, где ∆ = ∆(e) зависит от e и по смыслу определения является достаточно большим
положительным числом.
Множество всех точек x, для которых ïxï >
∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ¥.
Пример 2.
Доказать, что  (2х +1) = 7.
Решение. Возьмем
произвольное число e > 0. Покажем, что можно найти такую  – окрестность точки х = 3, что для всех точек х Î 0 (3,d)
будет выполняться соотношение |(2х+1)-7| < e.
Преобразуем
неравенство |(2х+1)-7| < e так,
чтобы из него получить  < d. Имеем
 < e <=> |2х – 6| < e <=> 2|х – 3| <
e <=> |х – 3| <  . Ясно, что, взяв d мы получим требуемое соотношение:
ïх – 3ï
< d=>ï(2х + 1) – 7ï
<e.
Сформулируем
некоторые свойства пределов.
Теорема. Если
функция f(х)
= с постоянна в некоторой окрестности точки а, то 
Теорема. Если f(х) имеет предел при х а, то этот предел единствен.
Функция f(х) называется ограниченной
на данном множестве Х, если
существует такое положительное число М, что |f(х)| £ М при всех х ÎХ.
Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной.
Пример 3. Функция у = sin х
ограничена на всей числовой оси, так как  . Функция  не ограничена на множестве,
содержащем точку х = 0.
Лемма. Если
функция f(х) имеет предел А при ха, то она ограничена в некоторой окрестности
точки х = а.
Доказательство.
Выберем e = 1, что возможно, так как e – любое положительное
число. Имеем  < 1
при x Î
0 (а, б), что следует из определения
предела функции. Рассмотрим  . Очевидно: ïf(x)ï
= ïf(x) – A + Aï £ ï f(x) – Aï + ïAï.
Но для x Î O (а, б) имеем ïf(x) – A ï < 1
и тогда ïf(x)ï
< 1 +ïAï для x Î O(а, б), где М = 1 +ïAï.
Замечание.
Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.
Например, функция f(x) = sin ограничена при 0< ïxï < +
¥, но не имеет предела при x ® 0.
Теорема. Пусть существует  и пусть М < f(x) < N в некоторой окрестности
точки x = a. Тогда М £
А £ N.
Положительная функция
не может иметь отрицательного предела.
|
Оцените материал:
