Лекции | 2.3. Ранг матрицы

Top 7ef411496f84437069acf0e42ee77352886572d19ba8877ee27abae1e871175c

Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы. Например, для матрицы можно составить миноры второго порядка и миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В приведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, например, минор

Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:

1) перестановки строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

Пример 14. Найти ранг матрицы

Решение. Поменяем местами строки матрицы, поставив последнюю строку на место первой:

Умножим первую строку на –3 и прибавим ко второй. При этом на месте элемента 3 получим 0. Затем умножим первую строку на –2 и прибавим к третьей:

Умножим вторую строку получившейся матрицы на –1 и прибавим к последней, тогда

Умножим теперь вторую строку на –5 и прибавим к последней:

Преобразования матрицы можно прекратить, так как, очевидно, минор , являющийся определителем треугольного вида, равен произведению элементов главной диагонали, то есть отличен от нуля. Следовательно, r (A)=3.

Пример 15. Вычислить ранг матрицы

Решение. Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь

Очевидно минор и ранг матрицы равен двум.

Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, полученной после элементарных преобразований исходной матрицы, приводящих ее к такому виду, когда ниже элементов а₁₁, а₂₂, а₃₃, ^…, а_nn стоят нули.

Оцените материал:

Footer f63129fb61ee1d73733bd560f3bc44832687c99fe55c2f0a17ff46db9af58c24