|
Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
 (1.10)
Составим из коэффициентов при
неизвестных определитель и назовем его определителем системы:
Совокупность значений неизвестных
xi=ai, i =1, 2, …, n, при подстановке
которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.
Докажем, что если определитель
системы (1.10) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное,
решение
 i= 1, 2, …, n,
где Δi
– определитель, получаемый из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец свободных
членов.
Умножим
первое уравнение системы (1.10) на А11, второе – на А21,
…, n-ое – на Аn1 и все уравнения
сложим. Получим:
x1 (a11A11+a21A21+…+an1An1)+
+x2 (a12A11+a22A21+…+an2An1)+…+ (1.11)
+xn (a1nA11+a2nA21+…+annAn1)
=
= b1A11+b2A21+…+bnAn1.
В левой части
этого выражения множитель при х1
равен определителю системы согласно теореме разложения, а остальные множители
при х2, …, хn равны нулю.
В правой части выражения (1.11) мы имеем разложение по элементам
первого столбца определителя
Таким образом, из системы (1.11)
получено уравнение 
и 
Домножая теперь уравнения системы
(1.10) на алгебраические дополнения элементов второго, третьего и т.д. и,
наконец, n-го столбцов
поочередно и складывая эти уравнения, получим
 …, 
Таким
образом, имеем окончательно  ,  ,…,
Замечание. Правило
Крамера при n>3 не
имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.
Пример 16. Решить
систему уравнений по правилу Крамера:
Решение. вычислим
определитель системы:
 то есть система
совместна.
Найдем далее вспомогательные определители:
  
Тогда х1=30,
х2=20, х3=-60.
|
Оцените материал:
